Sei A eine invertierbare n×n-Matrix und Ax = b ein lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Unbekannten. Sei weiter A_i die Matrix, die aus A entsteht durch die Ersetzung der i-ten Spalte durch b.

Dann ist die i-te Komponente x_i des Lösungsvektors x eindeutig bestimmt durch

x_i = det(A)^-1 det(A_i).

Sei folgendes Gleichungssystem über R gegeben:

x₁ + 2x₂ = 3

4x₁ + 5x₂ = 6

Dann ist die zugehörige Matrix

und es ist

Da für die Determinante von A gilt: det(A) = -3 ≠ 0, ist A invertierbar, und es ist det(A)^-1 = - 1/3.

Weiter gilt:

,

und es ist det(A₁) = 3 und det(A₂) = -6.

Mit der Cramerschen Regel gilt dann:

x₁ = det(A)^-1 det(A₁) = -1/3 ⋅ 3 = -1

x₂ = det(A)^-1 det(A₂) = -1/3 ⋅ (-6) = 2

Gaußsches Eliminationsverfahren

• Cramersche Regel am Beispiel n=3 (http://www.fto.de/fthp/hschaefer/hm1/node125.html#SECTION000125000000000000000)